لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
فرمت فایل word و قابل ویرایش و پرینت
تعداد صفحات: 3
اعداد اول
تعریف : هر عدد طبیعی و بزرگتر از یک مانند p را اول می نامیم . در صورتی که هیچ شمارنده یا مقسوم علیه مثبتی بجز یک و خودش نداشته باشد.
نتیجه 1. اگر p عددی اول و 0m و m|p آنگاه m =1 یا m = p
نتیجه 2. اگر p و q دو عدد اول باشند و p | q یا q | p ، آنگاه p = q
q = p q = p یا p=1 p | q اثبات
قرار داد : به ازای هر عدد طبیعی مانند n، تجزیه بدیهی n را بصورت n = 1×n در نظر می گیریم.
نتیجه 3. اگر p عددی اول باشد طبق تعریف ، فقط تجزیه بدیهی دارد و ناقد تجزیه ی نا بدیهی است.
تعریف : هر عدد طبیعی مانند 1n که اول نباشد ( تجزیه نابدیهی هم داشته باشد ) یک عدد مرکب نامیده می شود.
مثال : اگر n , m دو عدد طبیعی باشند و داشته باشیم 17=4-9، m و n را بیابید.
نتیجه 4. عدد 1 نه اول است و نه مرکب
نتیجه 5 . عدد اول زوجی بجز 2 وجود ندارد.
نتیجه 6 . هیچ دو عدد اول متوالی بجز 2و3 وجود ندارد.
قضیه: فرض کنیم m در شرایط زیر صدق کند آن گاه m اول است.
b|m یا m |a ab|m ، Nb ، a
اثبات : (برهان حلق) فرض کنید m در شرط مذکور صدق کند ولی اول نباشد پس m باید دارای تجزیه ی نابدیهی به دو عامل مثبت مانند m=ab ایجاب می کند که m|ab ، پس طبق شرط قضیه m |a یا m |b که با am و bm تناقض دارد، پس فرض خلق باطل و حکم برقرار است، یعنی m اول است.
طبق مثال قبل دارای عامل اولی به شکل است حال این عامل اول را p می نامیم و ثابت می کنیم p جزء ها نیست، که در این صورت فرض خلق باطل می شود زیرا به عدد اولی بجز n عدد اول مفروض دست یافته ایم.
برای اثبات این که p جزء ها نیست از برهان حلق دیگری استفاده می کنیم یعنی فرض می کنیم p جزءها باشد. پس؛
×....×× | بنابراین
که p|1 با فرض اول بودن p تناقض دارد لذا فرض خلق باطل است و باید p عدد اولی بجزء ها باشد و در کل حکم به اثبات می رسد.
مثال : اگر اول باشد ثابت کنید که n عددی اول است.
اثبات : (برهان حلق) فرض کنیم n عدد اول نباشد پس n باید دارای تجزیه ایی غیر بدیهی بصورت ab = n باشد که اگر ab ، باید و اگر ، باید از طرفی داریم :
]1++[(1-)= 1- ()
اعداد اول